數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
2021-07-29 17:03:09文/楊婷數(shù)系的擴(kuò)充不僅僅是增加一種新的數(shù),它還涉及數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)的引入,體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充的必要性及現(xiàn)實意義;給出的相關(guān)規(guī)定體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充后運(yùn)算的封閉性,同時體現(xiàn)了規(guī)定的合理性。
數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
數(shù)系的擴(kuò)充不僅僅是增加一種新的數(shù),它還涉及數(shù)的運(yùn)算.因此,數(shù)系的擴(kuò)充還需保留原來的基本運(yùn)算,用今天的話來講,就是要向前“兼容”,不能推倒小樓建大樓.具體來講,就是加、減、乘、除、乘方和開方的運(yùn)算律應(yīng)得到繼承.比如要滿足加法、乘法的交換率和結(jié)合律以及乘法對加法的分配律。
復(fù)數(shù)的引入,體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充的必要性及現(xiàn)實意義;給出的相關(guān)規(guī)定體現(xiàn)了數(shù)系擴(kuò)充后運(yùn)算的封閉性,同時體現(xiàn)了規(guī)定的合理性。
數(shù)系的擴(kuò)充它是在人類認(rèn)識和運(yùn)用數(shù)的歷史發(fā)展過程中,逐步形成的、不斷擴(kuò)大數(shù)的范圍的一些基本原則。
這些原則是:
1、從數(shù)系A(chǔ)擴(kuò)充到數(shù)系B必須是AB,即A是B的真子集;
2、數(shù)系A(chǔ)中定義了的基本運(yùn)算能擴(kuò)展為數(shù)系B的運(yùn)算,且這些運(yùn)算對于B中A的元來說與原來A的元間的關(guān)系和運(yùn)算相一致;
3、A中不是永遠(yuǎn)可行的某種運(yùn)算,在B中永遠(yuǎn)可行,例如,實數(shù)系擴(kuò)充為復(fù)數(shù)系后,開方的運(yùn)算就永遠(yuǎn)可行,再如,自然數(shù)系擴(kuò)充為整數(shù)系后,減法的運(yùn)算就能施行等。
我們把形如z=a+bi(a,b均為實數(shù))的數(shù)稱為復(fù)數(shù),其中a稱為實部,b稱為虛部,i稱為虛數(shù)單位。當(dāng)z的虛部等于零時,常稱z為實數(shù);當(dāng)z的虛部不等于零時,實部等于零時,常稱z為純虛數(shù)。
在每一次數(shù)系擴(kuò)充中,人們都遵守了如下幾條原則:
1、擴(kuò)充的目的:在原數(shù)集中某種運(yùn)算不封閉,在擴(kuò)充后的新數(shù)集中該運(yùn)算封閉;
2、擴(kuò)充后的集合要擴(kuò)大:進(jìn)行的每一次擴(kuò)充都是從一個較小的原數(shù)集擴(kuò)充到一個較大的新數(shù)集,且使得原數(shù)集是新數(shù)集的一部分;
3、保持原有的運(yùn)算:進(jìn)行擴(kuò)充時,要使原數(shù)集中所能夠進(jìn)行的運(yùn)算在新的數(shù)集中有意義,并且當(dāng)把原數(shù)集中的數(shù)看成新數(shù)集中的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算時,其結(jié)果應(yīng)與它們在原數(shù)集中所得到的結(jié)果完全相同;
4、擴(kuò)充的最小性與唯一性:要使擴(kuò)充后的新數(shù)集是原數(shù)集滿足以上的①、②、③原則的最小擴(kuò)充,并且該擴(kuò)充是唯一的。
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