等價矩陣的秩相等嗎

2021-11-28 16:43:22文/李文源

相等。在線性代數(shù)和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=QAP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那么這兩個矩陣之間是等價關(guān)系。也就是說，存在可逆矩陣（P、Q)，使得A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。

等價矩陣的秩相等嗎

等價矩陣性質(zhì)

矩陣A和A等價(反身性）；

矩陣A和B等價，那么B和A也等價(等價性）；

矩陣A和B等價，矩陣B和C等價,那么A和C等價（傳遞性）；

矩陣A和B等價，那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

具有行等價關(guān)系的矩陣所對應(yīng)的線性方程組有相同的解對于相同大小的兩個矩形矩陣，它們的等價性也可以通過以下條件來表征：

（1）矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。

（2）當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時，兩個矩陣是等價的。

矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個概念。在線性代數(shù)中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)，通常表示為r(A)，rk(A)或rank A。

在線性代數(shù)中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數(shù)目。類似地，行秩是A的線性無關(guān)的橫行的極大數(shù)目。即如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)。

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