2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國Ⅱ卷）

數        學

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1. 在復平面內，對應的點位于（    ）．

A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 設集合，，若，則（    ）．

A. 2 B. 1 C.  D.

3. 某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有（    ）．

A. 種 B. 種

C. 種 D. 種

4. 若為偶函數，則（    ）．

A.  B. 0 C.  D. 1

5. 已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A，B兩點，若面積是面積的2倍，則（    ）．

A  B.  C.  D.

6. 已知函數在區(qū)間上單調遞增，則a的最小值為（    ）．

A.  B. e C.  D.

7. 已知為銳角，，則（    ）．

A  B.  C.  D.

8. 記為等比數列的前n項和，若，，則（    ）．

A. 120 B. 85 C.  D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9. 已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為45°，則（    ）．

A. 該圓錐的體積為 B. 該圓錐的側面積為

C.  D. 的面積為

10. 設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（    ）．

A.  B.

C. 以MN為直徑的圓與l相切 D. 為等腰三角形

11. 若函數既有極大值也有極小值，則（    ）．

A.  B.  C.  D.

12. 在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為. 考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸 是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.

A. 采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為

B. 采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為

C. 采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為

D. 當時，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13. 已知向量，滿足，，則______．

14. 底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．

15. 已知直線與交于A，B兩點，寫出滿足“面積為”的m的一個值______．

16. 已知函數，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則______．

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17. 記的內角的對邊分別為，已知的面積為，為中點，且．

（1）若，求；

（2）若，求．

18. 為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．

（1）求通項公式；

（2）證明：當時，．

19. 某研究小組經過研究發(fā)現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率．

（1）當漏診率％時，求臨界值c和誤診率；

（2）設函數，當時，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值．

20. 如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．

（1）證明：；

（2）點F滿足，求二面角的正弦值．

21. 已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.

22. （1）證明：當時，；

（2）已知函數，若是的極大值點，求a的取值范圍．