絕密★本科目考試啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共12頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題  共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．

1. 已知集合，，則（    ）

A.  B.

C.  D.

2. 已知，則（    ）．

A.  B.  C.  D. 1

3. 求圓的圓心到的距離（    ）

A.  B. 2 C.  D.

4. 的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為（    ）

A. 15 B. 6 C.  D.

5. 已知向量，，則“”是“或”的（    ）條件．

A. 必要而不充分條件 B. 充分而不必要條件

C. 充分且必要條件 D. 既不充分也不必要條件

6 已知，，，，則（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 記水質(zhì)量為，并且d越大，水質(zhì)量越好．若S不變，且，，則與的關(guān)系為（    ）

A.

B.

C. 若，則；若，則；

D. 若，則；若，則；

8. 已知以邊長為4的正方形為底面的四棱錐，四條側(cè)棱分別為4，4，，，則該四棱錐的高為（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知，是函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，則下列正確的是（    ）

A.  B.

C.  D.

10. 若集合表示的圖形中，兩點(diǎn)間最大距離為d、面積為S，則（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

第二部分（非選擇題  共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11. 已知拋物線，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．

12. 已知，且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大值為________．

13. 已知雙曲線，則過且和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的斜率為________．

14. 已知三個(gè)圓柱體積為公比為10的等比數(shù)列．第一個(gè)圓柱的直徑為65mm，第二、三個(gè)圓柱的直徑為325mm，第三個(gè)圓柱的高為230mm，求前兩個(gè)圓柱的高度分別為________．

15. 已知，，不為常數(shù)列且各項(xiàng)均不相同，下列正確的是______.

①，均為等差數(shù)列，則M中最多一個(gè)元素；

②，均為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；

③為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，則M中最多三個(gè)元素；

④單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則M中最多一個(gè)元素

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16. 在△ABC中，，A為鈍角，．

（1）求；

（2）從條件①、條件②和條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求△ABC的面積．

①；②；③．

注：如果選擇條件①、條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．

17. 已知四棱錐P-ABCD，，，，，E是上一點(diǎn)，．

（1）若FPE中點(diǎn)，證明：平面．

（2）若平面，求平面與平面夾角的余弦值．

18. 已知某險(xiǎn)種的保費(fèi)為萬元，前3次出險(xiǎn)每次賠付萬元，第4次賠付萬元

在總體中抽樣100單，以頻率估計(jì)概率：

（1）求隨機(jī)抽取一單，賠償不少于2次的概率；

（2）（i）毛利潤是保費(fèi)與賠償金額之差．設(shè)毛利潤為，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；

（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險(xiǎn)期的保費(fèi)下降，已賠償過的增加．估計(jì)保單下一保險(xiǎn)期毛利潤的數(shù)學(xué)期望．

19. 已知橢圓方程C：，焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)構(gòu)成邊長為2的正方形，過的直線l與橢圓交于A，B，，連接AC交橢圓于D．

（1）求橢圓方程和離心率；

（2）若直線BD的斜率為0，求t．

20. 已知在處切線為l．

（1）若切線l的斜率，求單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：切線l不經(jīng)過；

（3）已知，，，，其中，切線l與y軸交于點(diǎn)B時(shí)．當(dāng)，符合條件的A的個(gè)數(shù)為？

（參考數(shù)據(jù)：，，）

21. 設(shè)集合．對于給定有窮數(shù)列A和序列Ω：，，···，，，定義變換T：將數(shù)列A的第，，，列加1，得到數(shù)列；將數(shù)列的第，，，列加1，得到數(shù)列…；重復(fù)上述操作，得到數(shù)列，記為Ω（A）．若為偶數(shù)，證明：“Ω（A）為常數(shù)列”的充要條件為“”．

絕密★本科目考試啟用前

2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷共12頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題  共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．

【1題答案】

【答案】A

【2題答案】

【答案】C

【3題答案】

【答案】C

【4題答案】

【答案】B

【5題答案】

【答案】A

【6題答案】

【答案】B

【7題答案】

【答案】C

【8題答案】

【答案】D

【9題答案】

【答案】A

【10題答案】

【答案】C

第二部分（非選擇題  共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

【11題答案】

【答案】

【12題答案】

【答案】##

【13題答案】

【答案】

【14題答案】

【答案】

【15題答案】

【答案】①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

【16題答案】

【答案】（1）；   

（2）選擇①無解；選擇②和③△ABC面積均為.

【17題答案】

【答案】（1）證明見解析   

（2）

【18題答案】

【答案】（1）   

（2）(i)0.122萬元    (ii)萬元

【19題答案】

【答案】（1）   

（2）

【20題答案】

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.   

（2）證明見解析    （3）2

【21題答案】

【答案】略