抽屜原理的定義和一般含義
2021-03-01 16:28:58文/陳宇航一、抽屜原理的定義和一般含義
1、抽屜原理
桌上有十個(gè)蘋果,要把這十個(gè)蘋果放到九個(gè)抽屜里,無(wú)論怎樣放,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)至少會(huì)有一個(gè)抽屜里面放不少于兩個(gè)蘋果。這一現(xiàn)象就是我們所說(shuō)的“抽屜原理”。
2、抽屜原理的一般含義為:“如果每個(gè)抽屜代表一個(gè)集合,每一個(gè)蘋果就可以代表一個(gè)元素,假如有$n$+1個(gè)元素放到$n$個(gè)集合中去,其中必定有一個(gè)集合里至少有兩個(gè)元素?!背閷显碛袝r(shí)也被稱為鴿巢原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。
3、第一抽屜原理
原理1:把多于$n$個(gè)的物體放到$n$個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件。
原理2:把多于$mn$+1($n$不為0)個(gè)的物體放到$n$個(gè)抽屜里,則至少有一個(gè)抽屜里有不少于($m$+1)的物體。
原理3:把無(wú)窮多件物體放入$n$個(gè)抽屜,則至少有一個(gè)抽屜里有無(wú)窮多個(gè)物體。
4、第二抽屜原理
把($mn$-1)個(gè)物體放入$n$個(gè)抽屜中,其中必有一個(gè)抽屜中至多有($m$-1)個(gè)物體(例如,將3×5-1=14個(gè)物體放入5個(gè)抽屜中,則必定有一個(gè)抽屜中的物體數(shù)少于等于3-1=2)。
二、抽屜原理的相關(guān)例題
將$A、B、C、D、E$五種不同的文件放入一排編號(hào)依次為1,2,3,4,5,6,7的七個(gè)抽屜內(nèi),每個(gè)抽屜至多放一種文件。若文件$A、 B$必須放入相鄰的抽屜內(nèi)。文件$C、 D$也必須放入相鄰的抽屜內(nèi),則文件放入抽屜內(nèi)的滿足條件的所有不同的方法有種。
A.60 B.120 C.240 D.480
答案:C
解析:將放入$A、B$兩個(gè)文件的相鄰抽屜記為“$AB$”。將放入$C、D$兩個(gè)文件的相鄰抽屜記為“$CD$”,將放入文件$E$的抽屜記為“$E$”。于是,“$AB$”、“$CD$”、“$E$”及兩個(gè)空抽屜可視為五個(gè)元素,則這五個(gè)元素的全排列數(shù)為${\rm A}^5_5$。由于文件$A、 B$及文件$C、D$的排列數(shù)均為${\rm A}^2_2$,而兩個(gè)空抽屜又是兩個(gè)相同的元表,故滿足條件的所有不同的方法有$\frac{{\rm A}^5_5·{\rm A}^2_2·{\rm A}^2_2}{2}$=240種。故答案為:C。
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